灰度圖像是對圖像的顏色進行變換，如果要對圖像進行壓縮該怎么處理呢？

1、矩陣運算中有一個概念叫做奇異值和特征值。

設(shè)A為n階矩陣，若存在常數(shù)λ及n維非零向量x，使得Ax=λx，則稱λ是矩陣A的特征值，x是A屬于特征值λ的特征向量。

一個矩陣的一組特征向量是一組正交向量。

2、即特征向量被施以線性變換 A 只會使向量伸長或縮短而其方向不被改變。

特征分解（Eigendecomposition），又稱譜分解（Spectral decomposition）是將矩陣分解為由其特征值和特征向量表示的矩陣之積的方法。

假如A是m * n階矩陣，q=min(m,n)，A*A的q個非負特征值的算術(shù)平方根叫作A的奇異值。

特征值分解可以方便的提取矩陣的特征，但是前提是這個矩陣是一個方陣。如果是非方陣的情況下，就需要用到奇異值分解了。先看下奇異值分解的定義：

A=UΣVT

其中A是目標要分解的m * n的矩陣，U是一個 m * m的方陣，Σ 是一個m * n 的矩陣，其非對角線上的元素都是0。VTV^TVT是V的轉(zhuǎn)置，也是一個n * n的矩陣。

奇異值跟特征值類似，在矩陣Σ中也是從大到小排列，而且奇異值的減少特別的快，在很多情況下，前10%甚至1%的奇異值的和就占了全部的奇異值之和的99%以上了。也就是說，我們也可以用前r大的奇異值來近似描述矩陣。r是一個遠小于m、n的數(shù)，這樣就可以進行壓縮矩陣。

通過奇異值分解，我們可以通過更加少量的數(shù)據(jù)來近似替代原矩陣。

要想使用奇異值分解svd可以直接調(diào)用linalg.svd 如下所示：

U, s, Vt = linalg.svd(img_gray)

其中U是一個m * m矩陣，Vt是一個n * n矩陣。

在上述的圖像中，U是一個(80, 80)的矩陣，而Vt是一個(170, 170) 的矩陣。而s是一個80的數(shù)組，s包含了img中的奇異值。

實例代碼擴展：

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom PIL import Imagefrom scipy import miscdef fix_contrast(image):minimumColor = np.amin(image)maximumColor = np.amax(image)#avg = (minimumColor - maximumColor)/2 first attemptavg = np.mean(image) #second attemptcolorDownMatrix = image < avg # also triedcolorUpMatrix = image > avg#also tried: colorUpMatrix = image > avg * 1.2# and : colorDownMatrix = image < avg* 0.3image = image - minimumColor*colorDownMatriximage = image + maximumColor*colorUpMatrixlessThen0 = image<0moreThen255 = image>255image[lessThen0] = 0image[moreThen255] = 255return image

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